この現象はサイトのURLがhttpsではなく、「http（保護されていない通信）」の時に起こります。私のケースではWordPressローカル開発環境をssl設定せずにhttpで行っていたときに発生しました。
解決方法はChromeの設定で許可を与える必要があり、具体的な手順は下記のとおり。
STEP
①URL左横の「保護されていない通信」マークをクリックし、②プルダウンメニュー一番下の「サイトの設定をクリック」
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該当サイトの設定画面になるので、「ポップアップとリダイレクト」「安全でないコンテンツ」の２個所を「許可する」の変更する。
上記操作で、All-in-One WP Migrationのエクスポートが正常に行わるようになり、ダウンロードファイルも「abc123456.wpress」などといった表示になる。
